Басилашвили родился в Москве. В 1956 году окончил Школу-студию МХАТ. Был приглашен в Ленинградский государственный театр им.Ленинского комсомола (ныне театр "Балтийский дом"), где играл до 1959 года, откуда перешел в Большой драматический театр.
Артист запомнился зрителям в спектаклях Г. А. Товстоногова, сыграв Андрея Прозорова («Три сестры»), Ксанфа («Лиса и виноград»), Хлестакова («Ревизор»), князя («История лошади»), Джингля («Пиквикский клуб»), а также в роли короля Людовика («Мольер» Булгакова, реж. С.Ю. Юрский). Как и первая чеховская роль, большой удачей, артиста стал образ Войницкого в спектакле «Дядя Ваня» (реж. Товстоногов, 1982).
Много и плодотворно работал О. В. Басилашвили на телевидении и в кино. Наибольшую известность Басилашвили принесли роли в кинофильмах Эльдара Рязанова "Служебный роман", "Вокзал для двоих", "О бедном гусаре замолвите слово" и "Осенний марафон" Георгия Данелия. За участие в фильме «Служебный роман» он был удостоен звания лауреата Государственной премии РСФСР (1980).
Басилашвили - народный артист СССР и Почетный гражданин Санкт-Петербурга.
